連続であることと，微分可能であることの差は，具体例を見るのがわかりやすい．

関数 f0(x)=sin(1/x), f1(x)=x sin(1/x), f2(x)=x^2 sin(1/x) を考える．ただし，x=0 のときこれらの関数の値は 0 と定義する．このときこれらの関数の x=0 における連続性，微分可能性を調べる．

f0(x) は x=0 において連続でも微分可能でもない．f1(x) は x=0 において連続であるが微分可能ではない．f2(x) は x=0 において連続でかつ微分可能である．

Mathematica プログラム例 ( 原点の近くでのグラフの様子 )

1. f0[x_]:=Sin[1/x]
2. f1[x_]:=x Sin[1/x]
3. f2[x_]:=x^2 Sin[1/x]
4. Plot[f0[x],{x,-1,1}, AspectRatio -> Automatic]
5. Plot[f0[x],{x,-0.1,0.1}, AspectRatio -> Automatic]
6. Plot[f1[x],{x,-0.1,0.1}, AspectRatio -> Automatic]
7. Plot[f1[x],{x,-0.01,0.01}, AspectRatio -> Automatic]
8. Plot[{x^2,-x^2,f2[x]},{x,-1,1}, AspectRatio -> Automatic, PlotRange -> All]
9. Plot[{x^2,-x^2,f2[x]},{x,-0.5,0.5}, AspectRatio -> Automatic, PlotRange -> All, Axes -> False]
10. Plot[f2[x],{x,-0.1,0.1}, AspectRatio -> Automatic, PlotRange -> All, Axes -> False]
11. Plot[f2[x],{x,-0.01,0.01}, AspectRatio -> Automatic, PlotRange -> All, Axes -> False]

計算結果

微分可能ならば連続である．しかし，この逆は成り立たない．たとえば，|x| は x=0 で連続であるが微分可能でない．また，いたるところ連続でありしかも微分不可能である関数が存在する．

ワイヤシュトラス (Weierstrass) の例 :a を奇数とし，b を正の実数で 1 より小，ab は 1+(3/2)pi より大とする．このとき，関数列 b^n cos(a^n pi x) の n=0,1,2,... の和は一様収束する．したがって連続である．しかしいたるところ微分可能でないことが示される．

Mathematica プログラム例(a=13, b=1/2 とし，和は n=0 から 10 までとする．これを x=1/2 の付近で拡大したもの．)

1. f[x_]:= Sum[Cos[(13)^j Pi x]/(2^j), {j,0,10}]
2. Plot[f[x], {x,0,1}]
3. Plot[f[x], {x,0.4,0.6}]
4. Plot[f[x], {x,0.49,0.51}]

計算結果