不連続な関数の例を考えることは，連続の定義を理解するひとつの方法である．

sin(1/x) は x=0 での値をどのように定義してもこの点で不連続である． f(x)=x sin(1/x) は f(0)=0 と定義すればすべての点で連続である．

Mathematica プログラム例

1. Plot[Sin[1/x], {x,-1,1}]
2. Plot[x Sin[1/x], {x,-1,1}]
3. Plot[x Sin[1/x], {x,-0.01,0.01}]

計算結果

実数 x に対して，もっとも近い整数 ( 四捨五入 ) を表す関数を r(x) とする． f(x)=1/r(1/x) の不連続点は x=0 の近くに無数に存在する． しかし， f(0)=0 と定義するとこの点で連続である．

Mathematica プログラム例

1. Plot[1/Round[1/x], {x,-1,1}, AspectRatio -> Automatic]
2. Plot[1/Round[1/x], {x,-0.01,0.01}, AspectRatio -> Automatic]

計算結果

参照

• 連続性と微分可能性